Рациональная функция - это уравнение, которое принимает вид y = N (x) / D (x), где N и D - многочлены. Попытка нарисовать точный график одного вручную может стать исчерпывающим обзором многих наиболее важных тем по математике в средней школе, от базовой алгебры до дифференциального исчисления. Рассмотрим следующий пример: y = (2 x 2 - 6 х + 5) / (4 х + 2).
Шаги
Шаг 1. Найдите точку пересечения оси y
Просто установите x = 0. Все, кроме постоянных членов, исчезают, оставляя y = 5/2. Выражая это как пару координат, (0, 5/2) - это точка на графике. Постройте график этой точки.
Шаг 2. Найдите горизонтальную асимптоту
Долго разделите знаменатель на числитель, чтобы определить поведение y при больших абсолютных значениях x. В этом примере деление показывает, что y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Для больших положительных или отрицательных значений x 17 / (8 x + 4) приближается к нулю, и график аппроксимирует линию y = (1/2) x - (7/4). Используя пунктирную или слегка начерченную линию, нарисуйте эту линию.
- Если степень числителя меньше степени знаменателя, деления делать не нужно, и асимптота y = 0.
- Если deg (N) = deg (D), асимптота представляет собой горизонтальную линию отношения старших коэффициентов.
- Если deg (N) = deg (D) + 1, асимптота представляет собой прямую, наклон которой равен отношению старших коэффициентов.
- Если deg (N)> deg (D) + 1, то при больших значениях | x |, y быстро переходит в положительную или отрицательную бесконечность как квадратичный, кубический или полином более высокой степени. В этом случае, вероятно, нет смысла точно наносить на график частное деления.
Шаг 3. Найдите нули
Рациональная функция имеет ноль, когда ее числитель равен нулю, поэтому установите N (x) = 0. В примере 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Дискриминант этой квадратичной функции равен b 2 - 4 ак = 62 - 4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Поскольку дискриминант отрицательный, N (x) и, следовательно, f (x) не имеет действительных корней. График никогда не пересекает ось x. Если были обнаружены нули, добавьте эти точки на график.
Шаг 4. Найдите вертикальные асимптоты
Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю. Установка 4 x + 2 = 0 дает вертикальную линию x = -1/2. Обозначьте каждую вертикальную асимптоту светлой или пунктирной линией. Если какое-то значение x делает как N (x) = 0, так и D (x) = 0, там может быть или не быть вертикальной асимптоты. Это редко, но посмотрите советы, как с этим бороться.
Шаг 5. Посмотрите на оставшуюся часть деления на шаге 2
Когда он положительный, отрицательный или нулевой? В этом примере числитель остатка равен 17, что всегда положительно. Знаменатель 4 x + 2 положителен справа от вертикальной асимптоты и отрицателен слева. Это означает, что график приближается к линейной асимптоте сверху для больших положительных значений x и снизу для больших отрицательных значений x. Поскольку 17 / (8 x + 4) никогда не может быть нулевым, этот график никогда не пересекает линию y = (1/2) x - (7/4). Ничего не добавляйте к графику прямо сейчас, но отметьте эти выводы на будущее.
Шаг 6. Найдите локальные экстремумы
Локальный экстремум может возникнуть, когда N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. В этом примере N '(x) = 4 x - 6 и D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Расширение, объединение членов и деление на 4 листа x 2 + x - 4 = 0. Квадратичная формула показывает корни около x = 3/2 и x = -5/2. (Они отличаются примерно на 0,06 от точных значений, но наш график не будет достаточно точным, чтобы беспокоиться об этом уровне детализации. Выбор подходящего рационального приближения упрощает следующий шаг.)
Шаг 7. Найдите y-значения каждого локального экстремума
Вставьте значения x из предыдущего шага обратно в исходную рациональную функцию, чтобы найти соответствующие значения y. В этом примере f (3/2) = 1/16 и f (-5/2) = -65/16. Добавьте эти точки (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на график. Поскольку мы аппроксимировали на предыдущем шаге, это не точные минимумы и максимумы, но, вероятно, они близки. (Мы знаем, что (3/2, 1/16) очень близко к локальному минимуму. Из шага 3 мы знаем, что y всегда положительно, когда x> -1/2, и мы нашли такое маленькое значение, как 1/16, так что, по крайней мере, в этом случае ошибка, вероятно, меньше толщины линии.)
Шаг 8. Соедините точки и плавно продолжите график от известных точек до асимптот, стараясь подойти к ним с правильного направления
Позаботьтесь о том, чтобы не пересекать ось x, кроме точек, уже найденных на шаге 3. Не пересекайте горизонтальную или линейную асимптоту, за исключением точек, уже найденных на шаге 5. Не переходите с восходящего наклона на нисходящий, кроме как в крайность, найденная на предыдущем шаге.
Видео - с помощью этой службы некоторая информация может быть передана YouTube
подсказки
- Некоторые из этих шагов могут включать решение многочлена высокой степени. Если вы не можете найти точные решения с помощью факторизации, формул или других средств, тогда оцените решения, используя численные методы, такие как метод Ньютона.
- Если вы выполните шаги по порядку, обычно нет необходимости использовать тесты второй производной или аналогичные потенциально сложные методы, чтобы определить, являются ли критические значения локальными максимумами, локальными минимумами или ни одним из них. Попробуйте сначала использовать информацию из предыдущих шагов и немного логики.
- Если вы пытаетесь сделать это только с помощью методов предварительного вычисления, вы можете заменить шаги по поиску локальных экстремумов, вычислив несколько дополнительных (x, y) упорядоченных пар между каждой парой асимптот. В качестве альтернативы, если вам все равно, почему это работает, нет причин, по которым ученик предварительного вычисления не может взять производную многочлена и решить N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
В редких случаях числитель и знаменатель могут иметь общий непостоянный множитель. Если вы следуете этим шагам, это будет отображаться как ноль и вертикальная асимптота в одном и том же месте. Это невозможно, и на самом деле происходит одно из следующего:
- Нуль в N (x) имеет большую кратность, чем нуль в D (x). График f (x) в этой точке приближается к нулю, но там не определен. Обозначьте это открытым кружком вокруг точки.
- Нуль в N (x) и нуль в D (x) имеют одинаковую кратность. График приближается к некоторой ненулевой точке для этого значения x, но там не определен. Снова обозначьте это открытым кружком.
- Нуль в N (x) имеет меньшую кратность, чем нуль в D (x). Здесь есть вертикальная асимптота.
